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1.1引言1.2电流、电压、功率1.3基尔霍夫定律1.4电阻元件1.5电源1.6电路等效1.7含独立源电路的等效1.8运算放大器1.9应用实例1.10电路设计与故障诊断习题11.1引言
1.1.1电路模型实际电路是由零、部件(如电阻器、电容器、线圈、开关、晶体管、电池、发电机等)按一定的方式相互连接组成的。分析任何一个物理系统，都要用理想化的模型描述该系统。经典力学中的质点就是小物体的模型，质点的几何尺寸为零，但确有一定的质量，有确定的位置和速度等。要分析实际电路的物理过程也需构造出能反映该实际电路物理性质的理想化模型，也就是用一些理想化的元件，相互连接组成理想化电路(电路模型)，用以描述该实际电路，进而对电路模型进行分析，其所得结果就反映了实际电路的物理过程。电路理论研究的对象不是实际电路，而是理想化的电路模型。电路理论中所说的电路是指由一些理想化的电路元件按一定方式连接组成的总体。1.1.2集中参数电路电路理论主要研究电路中发生的电磁现象，用电流、电压(有时还用电荷、磁通)来描述其中的过程。我们只关心各器件端的电流和端子间的电压，而不涉及器件内部的物理过程。这只有在满足集中化假设的条件下才是合理的。实际的器件、连接导线以及由它们连接成的实际电路都有一定的尺寸，占有一定的空间，而电磁能量的传播速度(c=3×108m/s)是有限的，如果电路尺寸l远小于电路最高工作频率f所对应的波长λ(λ=c/f)，则可以认为传送到实际电路各处的电磁能量是同时到达的。这时，与电磁波的波长相比，电路尺寸可以忽略不计。从电磁场理论的观点来看，整个实际电路可看做是电磁空间的一个点，这与经典力学中把小物体看做质点相类似。当实际电路的几何尺寸远小于工作波长时，我们用能足够精确反映其电磁性质的一些理想电路元件或它们的组合来模拟实际元件，这种理想化的电路元件称为集中(或集总)参数元件，它们有确定的电磁性质和确切的数学定义。可以认为，电磁能量的消耗都集中于电阻元件，电能只集中于电容元件，磁能只集中于电感元件。对于这些具有二端子的集中参数元件，可用其流经端子的电流和二端子间的电压来描述它们的电磁性能，而端电流和端子间的电压仅是时间的函数，与空间位置无关，在任一时刻，它们都是单值的量。由集中参数元件连接组成的电路称为集中参数电路。通常所说的电路图是用“理想导线”将一些电路元件符号按一定规律连接组成的图形。电路图中，元件符号的大小、连线的长短和形状都是无关紧要的，只要能正确地表明各电路元件之间的连接关系即可。实际电路的几何尺寸相差甚大。对于我国的电力输电线，其工作频率为50Hz，相应的波长为6000km，因而30km长的输电线只是波长的1/200，可以看做是集中参数电路，而远距离输电线可长达数百乃至数千千米，就不能看做是集中参数电路。对于电视天线及其传输线来说，其工作频率为108Hz的数量级，譬如10频道，其工作频率约为200MHz，其相应的工作波长为1.5m，这时0.2m长的传输线也不能看做是集中参数电路。对于不符合集中化假设的实际电路，需要用分布参数电路理论或电磁场理论来研究。本书只讨论集中参数电路，今后所说的“元件”、“电路”均指理想化的集中参数元件和电路。用理想化的模型模拟实际电路总有一定的近似性，也就是说，用电路元件互连来模拟实际电路，只是近似地反映实际电路中所发生的物理过程。不过，由于电路元件有确切的定义，分析运算是严谨的，这就能保证这种近似有一定的精度，而且还可根据实际情况改善电路模型，使电路模型所描述的物理过程更加逼近实际电路的物理过程。大量的实践经验表明，只要电路模型选取适当，按理想化电路分析计算的结果与相应实际电路的观测结果是一致的。当然，如果电路模型选取不当，则会造成较大的误差，有时甚至得出互相矛盾的结果。1.1.3电路理论与本书的任务电路理论起源于物理学中电磁学的一个分支，若从欧姆定律(1827年)和基尔霍夫定律(1845年)的发现算起，至今至少已有160多年的历史。随着电力和通信工程技术的发展，电路理论逐渐形成为一门比较系统且应用广泛的工程学科。自20世纪60年代以来，新的电子器件不断涌现，集成电路、大规模集成电路、超大规模集成电路的飞跃进展，计算机技术的迅猛发展和广泛使用等，都给电路理论提出了新课题，促进了电路理论的发展。综合与设计两类问题。电路分析的任务是根据已知的电路结构和元件参数，求解电路的特性;电路综合与设计是根据所提出的对电路性能的要求，确定合适的电路结构和元件参数，实现所需要的电路性能。近年来，有些学者提出电路的“故障诊断”应作为电路理论的第三类问题。电路的故障诊断是指预报故障的发生及确定故障的位置、识别故障元件的参数等技术。电路的综合与设计、电路的故障诊断都以电路分析为基础。电路理论的内容十分广泛，它是电工、电子和信息科学技术的重要理论基础之一。在通信、控制、计算机、电力等众多科学技术领域，广泛使用各种类型的电路:线性的与非线性的、时变的与非时变的、模拟的与数字的，等等，它们种类繁多，功能各异。电路理论基础的任务是研讨各种电路所共有的基本规律和基本分析计算方法。1.2电流、电压、功率1.2.1电流单位时间内通过导体横截面的电荷量q定义为电流强度，简称电流，用符号i或i(t)表示，即
(1.2－1)
式中，电荷量的单位是库(C)，时间的单位是秒(s)，电流的单位是安(A)。通常在分析电路问题时，先指定某一方向为电流方向，称为电流的参考方向，用箭头表示，如图1.2-1中实线箭头所示。如果电流的参考方向与实际方向(虚线箭头)一致，则电流i为正值(i>0)，如图1.2-1(a)所示;如果电流的参考方向与实际方向相反，则电流取负值(i<0)，如图1.2-1(b)所示。这样，在指定的电流参考方向下，电流值的正或负就反映了电流的实际方向。图1.2-1电流的参考方向1.2.2电压电路中，电场力将单位正电荷从某点移到另一点所作的功定义为该两点之间的电压，也称电位差，用u或u(t)表示，即(1.2-2)电压的参考极性是任意指定的，一般用“+”、“-”极性表示;有时也用箭头表示参考极性(如图1.2-2(b)所示)，箭头由“+”极指向“-”极;也可用双下标表示，如uab表示a点为“+”极，b点为“-”极。图1.2-2电压的参考极性电流、电压的参考方向在电路分析中起着十分重要的作用。电流、电压是代数量，既有数值又有与之相应的参考方向才有明确的物理意义，只有数值而无参考方向的电流、电压是没有意义的。对一个元件或一段电路上的电压、电流的参考方向，可以分别独立地任意指定，但为了方便，常常采用关联参考方向，即电流的参考方向和电压的参考方向一致，如图1.2-3(a)所示。图1.2-3参考方向在实际应用中，上述电流、电压的单位有时过小或过大，这时可在各单位前加适当的词头，形成十进倍数单位和分数单位，例如1μA(微安)=10-6A，1mV(毫伏)=10-3V，3kΩ(千欧)=3×103Ω，2GHz(吉赫)=2×109Hz，等等。部分常用国际单位制词头见表1-1。表1-1部分国际单位制(SI)词头1.2.3功率和能量功率与电压和电流密切相关。正电荷从电路元件上电压的“+”极经元件移到“-”极是电场力对电荷作功的结果，这时元件吸收能量;反之，正电荷从电路元件的“-”极移到“+”极，则必须由外力(化学力、电磁力等)对电荷作功以克服电场力，这时电路元件发出能量。若某元件两端的电压为u，在dt时间内流过该元件的电荷量为dq，那么，根据电压的定义式(1.2-2)，电场力作的功dw(t)=u(t)dq(t)。在电流与电压为关联参考方向的情况下(这时，正电荷从电压“+”极移到“-”极)，由式(1.2-1)和式(1.2-2)可得，在dt时间内电场力所作的功，即该元件吸收的能量为
dw(t)=u(t)i(t)dt(1.2-3)
能量对时间的变化率称为电功率。于是，电路元件吸收的电功率p(t)定义为(1.2-4a)需要注意的是，式(1.2-4a)是在电压、电流为关联参考方向下推得的(参看图1.2-4(a))，如果电压、电流为非关联参考方向，如图1.2-4(b)所示，则电路元件吸收的功率p(t)为
p(t)=-u(t)i(t)(1.2-4b)利用式(1.2-4)计算功率时，如果p>0，表示元件吸收功率;如果p<0，表示元件吸收的功率为负值，实际上它将发出功率。图1.2-4吸收功率设t=t0时元件的能量为w(t0)，t时刻元件的能量为w(t)，在u与i为关联参考方向的情况下，对式(1.2-3)从t0到t积分，可求得从t0到t时间内元件吸收的能量为(1.2-5)上式中，为避免积分上限t与积分变量t相混淆，将积分变量换为ξ。(1.2-6)一个二端元件(或电路)，如果对于所有的时刻t，元件吸收的能量满足(1.2-7)①数学符号的意思是所有的，一切的。意思是对于所有的时刻t(t>-∞)。图1.2-5例1.2-1图
例1.2-1
图1.2-5是由A和B两个元件构成的电路，已知u=3V，i=-2A。求元件A和B分别吸收的功率。
解对元件A来说，u与i为关联参考方向;对元件B来说，u与i为非关联参考方向。因此
pA吸=ui=3×(－2)=－6W
pB吸=－ui=－3×(－2)=6W
例1.2-2
某一段电路电流、电压为关联参考方向，其波形如图1.2-6(a)所示。分别画出其功率和能量的波形，并判断该电路是无源电路还是有源电路。解由图1.2-6(a)可写出因此其功率和能量的波形分别如图1.2-6(b)和(c)所示。由图1.2-6(c)可见，w(t)满足式(1.2-7),因此，该段电路是无源电路。图1.2-6例1.2-2图1.3基尔霍夫定律电路是由一些电路元件相互连接构成的总体。有两个引出端子的元件称为二端元件，它的特性可用其端电压u和电流i来描述，如图1.3-1所示。图1.3-1二端元件1.3.1电路图图1.3-2(a)是由6个元件相互连接组成的电路图，各元件的端电压、电流均为关联参考方向。电路图中的每一个元件，即图中的每一条线段，称为支路(图论中常称为边)，支路的连接点称为节点(或结点)。图1.3-2(a)和(b)中有1，2，…，6等6条支路;有a，b，c，d等4个节点。在图中，从某一节点出发，连续地经过一些支路和节点(只能各经过一次)，到达另一节点，就构成路径。如果路径的最后到达点就是出发点，则这样的闭合路径称为回路。图1.3-2电路图及其拓扑图1.3.2基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律(KCL)可表述为:对于集中参数电路中的任一节点，在任意时刻，流出该节点电流的和等于流入该节点电流的和，即对任一节点，有(1.3-1)图1.3-3KCL用于节点如果流出节点的电流前面取“+”号，流入节点的电流前面取“-”号，则KCL可表述为:对于集中参数电路中的任一节点，在任意时刻，所有连接于该节点的支路电流的代数和恒等于零，即对任一节点有(1.3-2)对于图1.3-3的节点p，KCL方程为i1-i2+i3+i4-i5=0。
KCL通常用于节点，它也可推广用于包括数个节点的闭合曲面(可称为广义节点，即图论中的割集)。图1.3-4中，对于闭合曲面S，有-i3-i4-i5+i8+i9=0图1.3-4KCL用于广义节点
例1.3-1
如图1.3-5所示的电路，已知i1=-5A，i2=1A，i6=2A，求i4。图1.3-5例1.3-1图
解为求得i4，对于节点b，根据KCL有-i3-i4+i6=0，即
i4=-i3+i6
为求出i3，可利用节点a，由KCL有i1+i2+i3=0，即
i3=-i1-i2=-(-5)-1=4A将i3代入i4的表达式，得
i4=-i3+i6=-4+2=-2A或者，取闭合曲面S，如图1.3-5中虚线所示，根据KCL，有
-i1-i2+i4-i6=0
可得
i4=i1+i2+i6=-5+1+2=-2A1.3.3基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律(KVL)可表述为:在集中参数电路中，任意时刻，沿任一回路绕行，回路中所有支路电压的代数和恒为零，即对任一回路有(1.3-3)图1.3-6KVL应用在电路分析时，常常需要求得某两节点之间的电压，譬如图1.3-6中节点a、d之间的电压uad。为了叙述方便，这里各支路电压用双下标表示。如图1.3-6中，uab=u1，ubc=-u2,ucd=u3，ude=u4，uea=-u5。根据KVL，沿a、b、c、d、e、a的绕行方向有
u1-u2+u3+u4-u5=0以上结果表明，在集中参数电路中，任意两点(譬如p和q)之间的电压upq等于沿从p到q的任一路径上所有支路电压的代数和，即(1.3-4)
例1.3-2
如图1.3-7所示的电路，已知u1=10V，u2=-2V，u3=3V，u7=2V。求u5、u6和ucd。图1.3-7例1.3-2图
解由图可见
u5=ubc=uba+uac=-u1+u3=-7V
由于u6=uad，沿a、b、e、d路径，得u6=uab+ube+ued=u1+u2-u7=6V
ucd=uca+uad=-u3+u6=3V或者沿路经c、a、b、e、d，得
ucd=uca+uab+ube+ued=-u3+u1+u2-u7=3V1.4电阻元件1.4.1二端电阻二端电阻是最常见的耗能型元件。电阻器、灯泡、电炉等在一定条件下可以用二端电阻作为其模型。二端电阻元件可定义为:一个二端元件，如果在任意时刻t，其两端电压u与流经它的电流i之间的关系(VCR)能用u~i平面(或i~u平面)上通过原点的曲线所确定，就称其为二端电阻元件，简称电阻元件。由于电压和电流的单位是V和A，因而电阻元件的特性称为伏安特性或伏安关系(VAR)。如果电阻元件的伏安特性不随时间变化(即它不是时间的函数)，则称其为非时变(或时不变)的，否则称为时变的;如其伏安特性是通过原点的直线，则称为线性的，否则称为非线性的。本书涉及最多的是线性非时变电阻元件。线性非时变电阻元件的伏安特性是u~i平面上一条通过原点的直线，如图1.4-1(b)所示。在电压、电流参考方向相关联(图1.4-1(a))的条件下，其电压与电流的关系就是熟知的欧姆定律，即
u(t)=Ri(t)
(1.4-1)式(1.4-1)和(1.4-2)常称为电阻的伏安关系。式中，R为元件的电阻，单位为欧(Ω);G是元件的电导，单位为西(S)。电阻R和电导G是联系电阻元件的电压与电流的电气参数。对于线性非时变电阻元件，R和G都是实常数，它们的关系是(1.4-3)线性非时变电阻元件也简称为电阻。这里，“电阻”一词及其符号R既表示电阻元件也表示该元件的参数。通常所说的电阻，其伏安特性如图1.4-1(b)所示，其电阻R(或电导G)为正值,可称为正电阻(或正电导)，一般将“正”字略去。用电子器件也能实现图1.4-1(c)所示的伏安特性，其电阻(或电导)为负值，称为负电阻(或负电导)。图1.4-1线性非时变电阻的伏安特性需要特别注意的是，以上的论述是在元件端电压u与通过它的电流i为关联参考方向的前提下得出的。如果电阻元件的端电压u与电流i为非关联参考方向，如图1.4-2所示，则欧姆定律的表示式(1.4-1)和(1.4-2)应该为
u(t)=-Ri(t)(1.4-4a)
i(t)=-Gu(t)(1.4-4b)图1.4-2u、i为非关联参考方向有两个特殊情况值得留意:开路和短路。当一个二端元件(或电路)的端电压不论为何值时，流过它的电流恒为零值，就把它称为开路。开路的伏安特性在u~i平面上与电压轴重合，它相当于R=∞或G=0，如图1.4-3(a)所示。当流过一个二端元件(或电路)的电流不论为何值时，它的端电压恒为零值，就把它称为短路。短路的伏安特性在u~i
平面上与电流轴重合，它相当于R=0或G=∞，如图1.4-3(b)所示。图1.4-3开路和短路由式(1.2-4a)、(1.4-1)和(1.4-2)可得，在电压、电流取关联参考方向时，在任一时刻t，电阻吸收的功率p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)=Gu2(t)
(1.4-5)由式(1.2-6)得，从-∞直到时刻t，电阻吸收的能量(1.4-6)由以上二式可见，对于通常所说的电阻(即R≥0，G≥0)恒有(1.4-7)
p(t)≥0，w(t)≥0
1.4.2二端口电阻具有两个以上端子的元件称为多端元件，像晶体管就是一种三端元件，变压器是一种四端元件。图1.4-4三端元件图1.4-4是一个三端元件(或电路)的示意图。根据基尔霍夫电流定律(KCL)和电压定律(KVL)有i1+i2+i3=0u13+u32+u21=0所谓多端电阻，就是其端电压和端电流之间的关系是用代数方程来描述的多端元件。多端电阻常用作端口分析。一个端口是指电路中满足这样条件的一对端子:在所有时刻t，流入一个端子的电流恒等于流出另一端子的电流。这一条件常称为端口条件。二端电阻的两个端子满足端口条件，因此，二端电阻也称为一端口电阻。图1.4-5(a)是一个四端元件，如果端子1与1′、端子2与2′分别形成端口，则该元件称为二端口元件。图1.4-5(b)是一个三端元件，若把端子3作为公共端子，分别与端子1与端子2形成两个端口，也可把它看做是一个具有公共端子的二端口元件。图1.4-5多端元件关于二端口电路将在第6章讨论，这里仅介绍二端口电阻的初步概念，以便使用。对二端口电阻，其两个端口上四个变量u1、i1、u2、i2受两个线性代数方程的约束，即(1.4-8)若以两个端口电流i1、i2为自变量来表达两个端口电压u1、u2，则有即(1.4-9)式中R11、R12、R21、R22称为二端口电阻的电阻参数，用它们作为元素构成的矩阵如果以两个端口电压u1、u2为自变量来表达两个端口电流i1、i2，则有即(1.4-10)
例1.4-1
如图1.4-6所示电路是由三个线性电阻构成的二端口电阻。图1.4-6例1.4-1图
解根据KVL和欧姆定律，可得二端口电阻的端口伏安特性为写成矩阵形式因此二端口元件的功率定义为:在两个端口电压、电流的参考方向均取关联参考方向的前提下(如图1.4-5所示)，对任意时刻t，二端口元件吸收的功率为p(t)=u1(t)i1(t)+u2(t)i2(t)(1.4-11)(1.4-12)1.4.3分立电阻与集成电阻任何材料都有电阻。导体、半导体和绝缘体三者的区别是材料的电阻率ρ。通常，ρ<10-4Ω·m的材料称为导体，ρ>104Ω·m的材料称为绝缘体，半导体的ρ介于导体和绝缘体之间。一段长度为L、截面积为S、电阻率为ρ的材料，其电阻值为
1.分立电阻器的主要参数电子电路中单个使用的具有电阻特性的元件，称为分立电阻器。前面讨论的电阻元件是由实际电阻器抽象出来的理想化模型。
2.常用电阻器的特点
(1)碳膜电阻器的特点:稳定性好，噪声低，阻值范围宽(1Ω~10MΩ)，温度系数不大且价格便宜，额定功率可达2W。它是电子电路中使用最广泛的电阻。
(2)绕线电阻器的特点:阻值精度高，噪声小，稳定性高，温度系数低，但阻值小(0.1Ω~5MΩ),体积较大，固有电感及电容较大，因此，一般不能用于高频电路。
(3)金属膜电阻器的特点:温度系数低，并且很牢固，使用寿命长，它广泛应用于稳定性和可靠性要求较高的电路中。
(4)金属氧化膜电阻器的特点:性能可靠，额定功率大(最大可达15kW)，但其阻值范围较小(1Ω~200kΩ)。图1.4-7矩形扩散电阻
3.集成电阻集成电阻又称扩散电阻、薄层电阻。通过复杂的扩散工艺在硅片上生成一定尺寸的薄层而制成的电阻，称为扩散电阻。考虑最简单的情况，图1.4-7给出一块扩散有均匀材料的矩形扩散电阻，由式(1.4-12)，可得其电阻值为(1.4-13)式中，ρ为材料的电阻率;L、W分别为矩形扩散电阻的长度和宽度;x为矩形扩散电阻的扩散厚度。材料的电阻率和扩散电阻的扩散厚度由集成电路生产线工艺所决定，因此，生产线工艺一旦确定，则式(1.4-13)中的ρ/x为固定值，设计人员所能改变的就只有扩散电阻的长度和宽度。为此，集成电路设计中将ρ/x定义为方块电阻(也称薄层电阻)，记为R□，单位为Ω□(欧姆每方)，即(1.4-14)式(1.4-13)用方块电阻表示为(1.4-15)1.5电源1.5.1电压源一个二端元件，如其端口电压总能保持为给定的电压us(t)，而与通过它的电流无关，则称其为电压源。图1.5-1电压源符号电压源的图形符号如图1.5-1(a)所示。如us(t)为恒定值，则称其为直流电压源或恒定电压源，有时用图1.5-1(b)所示的图形符号表示，其中长的一端为“+”极，短的一端为“-”极。压源具有如下特点:
(1)无论通过它的电流为何值，电压源的端口电压u总保持u(t)=us(t)。如果us是直流电压源Us(Us为常数)，则电压源端口电压u与流过它的电流i的关系(即伏安特性)是一条位于u=Us且平行于电流轴的直线，如图1.5-2(b)所示。图1.5-2电压源的特性
(2)电压源的电流由电压源和与它相连的外电路共同决定。电压源的端口电压u与电流i可表示为(1.5-1)1.5.2电流源一个二端元件，如其端口电流值总能保持为给定的电流is(t)，而与其端口电压无关，则称其为电流源。图1.5-3电流源符号将理想电流源接上外部电路N，可观测其端口的电压u和电流i，如图1.5-4(a)所示。电流源具有如下特点:
(1)无论其端口电压u为何值，电流源的电流i总保持i(t)=is(t)。如果is是直流电流源Is(Is为常数)，则电流源的伏安特性是一条位于i=Is且平行于电压轴的直线，如图1.5-4(b)所示。如果is是随时间变化的，则平行于电压轴的直线也随之改变其位置，如图1.5-4(c)所示。图1.5-4电流源的特性
(2)电流源的端口电压由电流源和与它相连的外电路共同决定。电流源的端口电压u与电流i可表示为(1.5-2)
例1.5-1
如图1.5-5所示的电路，求电压源产生的功率和电流源产生的功率。
解由图可见，根据电流源的定义，电流I=Is=1A,它也是通过电压源的电流。由于Us与I为关联参考方向，故电压源吸收的功率图1.5-5例1.5-1图根据KVL，电流源的端口电压
U=RI+Us=RIs+Us=5V由于Is与其端口电压U为非关联参考方向，故电流源产生的功率
PIs=UIs=5W
例1.5-2
如图1.5-6所示的电路中，二端口电阻的电阻参数矩阵为
(1)对二端口电阻，由电阻参数矩阵可得到方程根据KVL，对虚线所示回路，有
US=U3+U1=R3I1+3I1+IS
即8=6+2解得I1=1A故U1=5V，U2=5V图1.5-6例1.5-2图
(2)电阻R3吸收的功率
二端口电阻吸收的功率
PR=U1I1+U2Is=5×1+5×2=15W
由图可见，电压源端电压Us与I1为非关联参考方向，故电压源发出的功率
PUs=UsI1=8W
1.5.3电路中的参考点在电路分析中，常常指定电路中的某节点为参考点，计算或测量其它各节点对参考点的电位差，称其为各节点的电位，或各节点的电压。如图1.5-7(a)所示的电路，若选节点d为参考点，节点a、b、c的节点电位或节点电压分别用Una、Unb、Unc表示;在不致混淆的情况下，也常用Ua、Ub、Uc表示，则
Una=Uad=US1
，Unb=Ubd=R3I3
Unc=Ucd=－US2
，Und=Udd=0图1.5-7参考点
例1.5-3
如图1.5-7(b)所示的电路，已知Us1=6V，Us2=3V，R1=2Ω，R2=6Ω,R3=6Ω，求节点b的节点电压Ub。
解首先标明各支路电流（或电压）的参考方向。显然有，Ua=US1=6V，Uc=－US2=－3V。由图可见，ab间的电压所以
bc间的电压Ubc=Ubd
－Ucd=Ub
－Uc
=Ub
－(－3)=Ub+3所以
对于节点b，根据KCL有
I1=I2+I3图1.5-8例1.5-4图将I1、I2、I3代入上式，得
例1.5-4
如图1.5-8所示的电路，N为某用电设备，今测得UN=6V，IN=1A，其参考方向如图所示。
解首先标明有关电流I1、I2、I3的参考方向。
(1)为求得电阻R，需要求得Uc和I3。若以d为参考点，则
Ua=Us=12V，Ub=UN=6V所以根据KCL，对于节点b，有
I2=I1-IN=0.5A对于节点c，有
I3=I2+Is=1.5A
cd两点间的电压，即c点的电压(以d为参考点)
Uc=Ucd=Ucb+Ubd=-6I2+UN=3V
所以，电阻(Ucd与I3为关联参考方向)(2)为求得电压源和电流源产生的功率，需求出电压源的电流I和电流源的端电压U，其参考方向如图1.5-8所示，它们都是非关联参考方向。根据KCL，电压源的电流
I=I1+Is=1.5+1=2.5A所以，电压源产生功率
PUs=UsI=12×2.5=30W
根据KVL，电流源的端电压
U=Ucd+Uda=Uc-Ua=3-12=-9V所以，电流源产生的功率
PIs=UIs=(-9)×1=-9W1.5.4受控源非独立电源是指电压源的电压或电流源的电流不是给定的时间函数，而是受电路中某支路电压或电流控制的，因此常称为受控源。受控源是有源的二端口元件。其两个端口:一个是电源端口，体现为源电压us或源电流is，能提供电功率;另一个是控制端口，体现为控制电压uc或控制电流ic，如图1.5-9所示。控制端口上的功率恒为零，即当电压uc
控制时，控制口电流ic为零;当电流ic控制时，控制口电压uc为零。图1.5-9受控源根据控制量是电压还是电流，受控的电源是电压源还是电流源，受控源有四种基本形式，它们是:压控电压源(VCVS)、流控电压源(CCVS)、压控电流源(VCCS)和流控电流源(CCCS)。图1.5-10是它们的电路符号，受控源的电源符号用菱形表示。独立电源是一端口元件，只需一个方程就可以表征其特性。而受控源是二端口元件，其元件特性需用两个方程来描述。其端口电压、电流关系分别为(1.5-3)(1.5-5)(1.5-4)(1.5-6)图1.5-10受控源的四种形式作为一个二端口元件来说，受控源有两个端口。但由于控制口的功率为零，它不是开路就是短路，因而在电路图中不一定要专门画出控制口，只要在控制支路中标明该控制量即可。图1.5-11(a)和(b)的本质是相同的，但图(a)简单明了。图1.5-11含受控源的电路受控源是一种有源元件。下面以VCVS为例讨论受控源的有源性。将VCVS的控制关系代入式(1.2-7)，得图1.5-12例1.5-5图
解图1.5-12是含流控电压源的电路。可以求得控制电流
i1=6/12=0.5A从而受控源的端电压u2=4i1=2V。于是未知电流
ix=u2/5=0.4A
例1.5-5
如图1.5-12所示的电路，求ix。
解图1.5-13是含有压控电流源的电路。可以求得控制电压u1=4×1＝4V从而受控源的电流i2=0.5u1=2A。由于ux与i2为非关联参考方向，所以
ux=-5i2=-10V
例1.5-6
如图1.5-13所示的电路，求5Ω电阻两端的电压ux。图1.5-13例1.5-6图
例1.5-7
图1.5-14所示是放大器的简化模型。已知R1=2Ω，R2=15Ω，α=4，输入电压ui=2cost(V)，求输出电压uo。
解对于节点a，根据KCL，考虑到i2=αi1，有i3=i1+i2=(1+α)i1图1.5-14例1.5-7图输入电压
ui=R1i3=R1(1+α)i1
输出电压
uo=-R2i2=-R2αi1
所以即1.6电路等效1.6.1电路等效的概念对于结构、元件参数完全不同的两部分电路B和C，如图1.6-1所示。若B和C具有完全相同的端口电压电流关系(VCR)，则称B与C是端口等效的，或称电路B和C互为等效电路。图1.6-1具有相同端口VCR的两部分电路相等效的两部分电路B与C在电路中可以相互替换，替换前的电路与替换后的电路对任意外部电路A中的电压、电流、功率是等效的，如图1.6-2(a)、(b)所示。也就是说，用图1.6-2(b)的电路求A中的电压、电流、功率与用图1.6-2(a)的电路求A中的电压、电流、功率具有同等效果。习惯上将这种替换称为电路的等效变换。图1.6-2电路等效变换1.6.2电阻的串联和并联等效为了便于理解上述等效的概念，下面通过推导大家熟知的串联电阻等效公式和并联电阻等效公式来加以说明。图1.6-3(a)是由n个电阻R1，R2，…，Rn串联组成的一端口电路B。电阻串联的基本特征是通过各电阻的电流是同一电流。图1.6-3(b)是仅由一个电阻Req构成的一端口电路C。对于B，根据KVL可得到它的端口VCR为
u=u1+u2+…+un=(R1+R2+…+Rn)i
(1.6-1a)对于电路C，其端口VCR为
u=Reqi
(1.6-1b)
如果
Req=R1+R2+…+Rn
(1.6-2a)则B和C的端口VCR完全相同，从而二者等效。在电路中，若用Req代替n个串联电阻，则对其外部电路来说，它们起的作用是相同的。式(1.6-2a)就是大家熟知的串联电阻等效公式。电阻Req称为n个电阻串联的等效电阻。图1.6-3电阻的串联电阻串联时，各电阻的电压(1.6-2b)图1.6-4(a)是n个电导(电阻)相并联组成的一端口电路。电导(电阻)并联的基本特征是各电导(电阻)的端电压是同一电压。图1.6-4(b)中的一端口电路仅含一个电导(电阻)。它们的端口VCR分别为(1.6-3b)i=i1+i2+…+in=（G1+G2+…+Gn
）u
(1.6-3a)
i=Gequ
如果
Geq=G1+G2+…+Gn
或(1.6-4a)图1.6-4电阻的并联电导并联时，各电导上的电流(1.6-4b)最常遇到的是两个电阻相并联的情形，如图1.6-5所示。其等效电阻最常遇到的是两个电阻相并联的情形，如图1.6-5所示。其等效电阻(1.6-5a)图1.6-5两个电阻并联图1.6-6例1.6-1题图
例1.6-1
如图1.6-6所示的电路。
(1)求ab两点间的电压uab;
(2)若ab用理想导线短接，求流过该短路线上的电流iab。解
(1)由图可见，R1与R2为串联，R3与R4也为串联。由分压公式可求得所以，ab间的电压
uab=uac+ucb=uac-ubc=2V(2)若ab短接，如图1.6-7(a)所示。这时，R1与R3为并联，R2与R4为并联，并联后的电路如图1.6-7(b)所示。图1.6-7例1.6-1解图按图1.6-7(a)，应用分流公式得根据KCL，可求得ab间短路线上的电流iab=i1-i2=0.4A1.6.3电阻Y形电路与△形电路的等效变换图1.6-8(a)中，电阻R1、R2、R3形成Y形(或称T形、星形)连接电路;图1.6-8(b)中，电阻R12、R23、R31形成△形(或称π形、三角形)连接电路。图1.6-8Y形和△形电路
Y形电路和△形电路都是通过三个端子与外部相连的，是两种典型的三端电阻电路，也可看成是两个具有公共端子的二端口电阻电路。为使两者等效，要求两者的端口VCR完全相同。由于这两个二端口可用电阻参数矩阵R或电导参数矩阵G描述，因而，只要两者的R或G矩阵相同即可。对于△形电路，直接求G△方便。由图1.6-8(b)，根据KCL有则为使Y形电路与△形电路等效，必须有即
G△=GY=比较上式等号两边两个矩阵中的元素，可得(1.6-6)同理，利用RY=R△=，可得出已知△形电路的电阻，计算其相应等效的Y形电路中各电阻的公式为(1.6-7)若Y形电路的三个电阻相等，即R1=R2=R3=RY，则其等效△形电路的电阻也相等，即R12=R23=R31=R△。其关系为
R△=3RY
(1.6-8)
例1.6-2
如图1.6-9(a)所示的电路，求ad端的等效电阻Req。
解对图1.6-9(a)所示的电路，不能直接用电阻串、并联的方法简化。若用△-Y变换将比较方便。图1.6-9例1.6-2图
(1)可以将图1.6-9(a)电路中节点a、b、c间的△形电路等效变换为Y形电路，如图1.6-9(b)所示。若令等效Y形电路中接于节点a、b、c的电阻分别为Ra、Rb和Rc，则根据式(1.6-7)可得
它们已分别标明在图1.6-9(b)中。按图1.6-9(b)，用电阻串、并联的方法，不难求得ad端的等效电阻
(2)也可将图1.6-9(a)电路中连接到节点ac、bc、dc的三个Y形连接的电阻等效变换为△形电路，如图1.6-9(c)所示。按式(1.6-6)计算的各电阻值已标明在图1.6-9(c)中。按图1.6-9(c)不难求得ad端的等效电阻Req=6Ω。图1.6-10一端口电路
例1.6-3
图1.6-11(a)和(b)是只含受控源的一端口电路，若控制系数r>0，且已知，分别求图(a)和(b)电路的等效电阻。图1.6-11例1.6-3图
(1)由图1.6-11(a)可见，按设定的参考方向，一端口电路的端口电流i=i2=i1，端口电压(考虑到u1=0)故其等效电阻u=u2+u1=u2=ri1
(2)由图1.6-11(b)可见，一端口电路的端口电流i=i2=-i1，端口电压(考虑到u1=0)
故其等效电阻u=u2-u1=u2=ri1图1.6-12例1.6-4图
例1.6-4
如图1.6-12所示的一端口电路，求其等效电阻。
解按图1.6-12，根据KCL，有
i2=i-αi1
由于i=i1，故i2=(1-α)i。对于u、R1、R2的回路，由KVL，有
u=R1i1+R2i2
=R1i+R2(1－
)i
=[R1+R2(1－)]i故得图1.6-12电路的等效电阻1.6.5线性二端口电阻的等效电路
考虑如图1.6-13(a)所示的线性二端口电阻，其电阻参数方程为u1=R11i1+R12i2(1.6-11)u2=R21i1+R22i2(1.6-12)从式(1.6-11)和(1.6-12)可看出，端口电压不仅与本端口电流有关，而且与另一个端口的电流也有关。式(1.6-11)可解释成一线性电阻R11和受电流i2控制的CCVS相串联的支路;同样，式(1.6-12)可以解释为一线性电阻R22和受电流i1控制的CCVS相串联的支路。因此，可以利用图1.6-13(b)的等效电路来表示图(a)的二端口电阻。同理，也可以利用二端口电阻的电导参数方程，推出用电导参数表示的等效电路，如图1.6-13(c)所示。图1.6-13二端口电阻及其等效电路1.6.6器件电路模型的建立图1.6-14MOSFET器件及其特性分析图1.6-14(b)可以得到MOSFET的直流电路模型。
(1)当uGS<UT(UT为MOSFET的导通阈值，典型值为1V)时，uDS≈0，MOSFET工作在截止区，D－S间等效为开路，MOSFET的电路模型如图1.6-15(a)所示。图1.6-15N沟道增强型MOSFET器件的直流电路模型
(2)当uGS>UT
时，D－S间可近似地分为2个区域:斜线区(非饱和区)和水平区(饱和区)。当uDS<uGS-UT
时，MOSFET工作在斜线区，D－S间可等效为一个电阻RM(阻值约为几百欧)，MOSFET的电路模型如图1.6-15(b)所示。集成电路中MOSFET器件所需要的面积比一个电阻要小得多，因此，也常用MOSFET工作在斜线区来实现电阻。当uDS>uGS-UT
时，MOSFET工作在水平区，D－S间可等效为一个非线性的压控电流源，其值为iDS=K(uGS-UT)2(1.6-13)
例1.6-5
图1.6-16(a)所示是逻辑反相器(非门)电路，其中RL=10kΩ，RM=200Ω。
(1)当Ui=0V时，MOSFET位于截止区，图1.6-16(a)的等效电路如图1.6-16(b)所示。显然，Uo=5V，因此实现了输入为逻辑0时输出为逻辑1。图1.6-16例1.6-6图
(2)当Ui=5V时，UGS=Ui=5V>1V=UT，因此，MOSFET非截止。假设MOSFET工作于饱和区，则有IDS=K(UGS-UT)2=0.5×10-3×42=8×10-3A
所以UDS=5-RLIDS=5-10×103×8×10-3=-75V1.7.1独立源的串联和并联电压源和电流源的串联和并联有几种不同的情况。为了简明，这里都以两个电源为例进行说明，根据以下论述，读者不难推广到多个电源的情形。1.7含独立源电路的等效
图1.7-1是电压源相串联的情况。根据电压源的定义和KVL，两个电压源us1和us2相串联，可等效为一个电压源us
。若参考极性规定如图1.7-1(a)所示，则等效电源的电压
us(t)=us1(t)+us2(t)
t(1.7-1a)若参考极性规定如图1.7-1(b)所示，则等效电源的电压
us(t)=us1(t)-us2(t)
t(1.7-1b)图1.7-1电压源的串联按电压源的定义，电压源的电流可为任意值，而根据KCL，两电源串联时，二者的电流应为同一电流，这个电流仍然可以是任意值。这样，等效电压源也符合电压源的定义。图1.7-2是两个电流源相并联的情形。根据电流源的定义和KCL，两个电流源is1和is2相并联可等效为一个电流源is。按参考方向规定的不同，图1.7-2(a)和(b)的等效电流源的电流分别为(1.7-2a)iS(t)=iS1(t)+iS2(t)
iS(t)=iS1(t)－iS2(t)(1.7-2b)图1.7-2电流源的并联只有电压值相等且极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL。其等效电路为其中的任一个电压源，如图1.7-3所示。只有电流值相等且方向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL。其等效电路为其中的任一个电流源，如图1.7-4所示。图1.7-3电压源的并联图1.7-4电流源的串联图1.7-5电流源与电压源或电阻串联根据电压源的定义，电压源两端的电压有确定的值，并等于us。因此，电压源us与其它元件(电流源或电阻等)相并联，总可等效为电压源，其电压为us，如图1.7-6所示。原电路中电压源电流i1可为任意值，因而端口电流i也可为任意值，这符合电压源的定义。需特别注意，端口电流i不等于原电路中电压源的电流i1。图1.7-6电压源与电流源或电阻并联1.7.2实际电源的两种模型及其等效变换图1.7-7(a)所示是一个实际的直流电源(譬如电池)，外接一个可变电阻，测量出其端口的伏安特性如图1.7-7(b)中的实线所示，可见其端电压随着输出电流的增大而略有降低。在正常的工作范围内(其端口电流不超过额定值，否则会损坏电池)，其端口伏安特性可近似为一条直线，如图1.7-7(b)中虚线所示。图1.7-7实际电源及其伏安特性曲线如果将图1.7-7(b)中的直线加以延长而作为实际电源的端口伏安特性，如图1.7-7(c)所示，可以看出，其在电压轴的截距为Us(i=0时的电压，即开路电压)，在电流轴的截距为Is(u=0时的电流，即短路电流)，则该直线的斜率为-Rs(Rs=Us/Is)，于是可写出该直线方程为u=Us-Rsi
(1.7-3)根据KVL，可画出上式的等效电路，如图1.7-8(a)所示。式(1.7-3)表明，在一定条件下，一个实际电源可以用理想电压源Us与线性电阻Rs相串联的组合作为它的模型。图1.7-8实际电源的等效电路模型及互换由以上讨论还可以看出，由于式(1.7-3)和(1.7-4)是同一伏安特性的不同表示，因此图1.7-8(a)的电路与图(b)的电路的端口伏安特性完全相同，二者是互相等效的，其条件是Rs=Us/Is。也就是说，一电压源Us与电阻Rs串联的支路可以等效为一电流源Is与Rs相并联的电路，反之亦然。它们之间的关系是(1.7-5)
例1.7-1
如图1.7-9所示的电路，求电流I。
解按电源模型互换的规则，将支路ab′、bc、b′c的电压源与电阻串联的组合等效为电流源与电阻并联的组合，如图1.7-10(a)所示。按电流源并联和电阻并联的规则，将图1.7-10(a)变换为图(b)。图1.7-9例1.7-1题图图1.7-10例1.7-1解图图1.7-11例1.7-1部分重画图由图1.7-10(c)可求得
Uab=-2I+6=5V
Ubc=-2I-2=-3V返回原电路图1.7-9，其有关部分重画于图1.7-11中。由图1.7-11可求得对于节点b，根据KCL得
Ibb′=I1+I2-1=1.75A
例1.7-2
如图1.7-12(a)所示的电路，求电流i1。
解将受控电流源与2Ω电阻的并联组合等效为受控电压源与电阻的串联组合，如图1.7-12(b)所示。由图(b)，按KVL可得(3+2)i1+i1=12
由上式可解得i1=2A。图1.7-12例1.7-2图1.7.3电源的等效转移图1.7-13(a)是电路的一个部分，在节点e与d之间有电压源us，则在连接到节点e的各支路中，靠近e的端点(如图中a、b、c)与d之间的电压均为us(即uad=ubd=ucd=us)，各支路电流也是确定的。如果将图1.7-13(a)电路中的us由ed支路转移到原来与e相连的所有支路，如图1.7-13(b)所示(这时e与d成为同一节点)。由图(b)可见，a、b、c各点与d之间的电压仍保持为us;而由于电压源的电流可为任意值，因而各支路电流也可保持原来的值。由此可见，对于端子a、b、c、d而言，图1.7-13(a)可等效为图(b)。图1.7-13电压源转移我们将图1.7-14(a)的电流源is看做是几个电流相同的电流源串联组成，并把它们分别连接到ad路径中的一些节点上。它们的参考方向可以这样确定，如果原来的电流源由a点流出，流入d点，那么用以替代的电流源由a点流出;如果它流入b，则同时有第二个电流源由b流出;如果它流入c，则同时有第三个电流源由c流出;如此继续，直到最后一个电流源流入d，如图1.7-14(b)所示。图1.7-14电流源转移由图1.7-14(b)可见，节点b和c新增加的电流为零，因而各支路电流仍然保持原来的值;而由于电流源的端电压可为任意值，因而各支路电压也保持原来的值。由此可见，对于图1.7-14(a)和(b)虚线框内的部分，二者是互相等效的。
例1.7-3
如图1.7-15所示的电路，求电流I。图1.7-15例1.7-3题图
解根据电流源转移的方法，将ad间的电流源转移为接于db和ba间的两个电流源，如图1.7-16(a)所示。再将电流源(及与其相并联的电阻)变换为电压源，如图1.7-16(b)所示。图1.7-16(b)中点f和f′点的电位相等，即uff′=0，故可将f和f′点短接(或逆用电压源转移)，得图1.7-16(c)，进而变换为图1.7-16(d)。由图1.7-16(d)，可求得电流I=1A。图1.7-16例1.7-3解图1.8运算放大器1.8.1运放的外部特性和电路模型运算放大器是一种多端子有源元件，其电路符号如图1.8-1(a)所示，左边两个端子为输入端，右边一个端子是输出端，上下两个端子是电源端。输入端中“-”端和“+”端分别称为反相输入端和正相输入端。运放作为一个有源元件，电源端的电源电压±UCC是为了保证运放内部正常工作所必须的。图1.8-1运算放大器的电路符号设差分输入电压ud为
ud=u+-u-
(1.8-1)运放的输出电压uo与差分输入电压ud的关系常称为运放的外部特性。若运放工作在直流和低频信号的情况下，则运放外部特性的示意图如图1.8-2所示。图1.8-2运放的输入输出特性根据式(1.8-2)，可以用压控电压源(VCVS)来构成运放的等效电路模型，如图1.8-3所示，其中Ri、Ro分别为运放的输入电阻和输出电阻。表1-2给出运放开环电压增益A、输入电阻Ri、输出电阻Ro和电源电压UCC的一些典型值。图1.8-3非理想运放的等效电路模型表1-2运放典型的参数值范围
例1.8-1
一个741运放的开环电压增益A=2×105，输入电阻Ri=2MΩ，输出电阻Ro=50Ω。将该运放用于图1.8-4(a)所示的电路，当us=2V时，求其输出电压uo和电流i。
解利用图1.8-3所示的运放模型，可得到图1.8-4(a)所示电路的等效电路如图1.8-4(b)所示。图1.8-4例1.8-1图在节点a列KCL，有
i2=i1+i
在回路Ⅰ列出KVL，有
10×103(i1+i)-ud-us=0(1.8-3)
在回路Ⅱ列出KVL，有
20×103i+Roi+Aud+ud=0(1.8-4)对电阻Ri，利用欧姆定律得
ud=-Rii1
(1.8-5)将题中已知条件A=2×105，Ri=2MΩ，Ro=50Ω代入到式(1.8-3)~(1.8-5)中，并联立求解，可得
i=0.1999898mA
ud=-20.04989μV故
uo=-20×103i-ud=-4.003887V1.8.2理想运算放大器满足下列三个特征的运放称为理想运放:
(1)输入电阻Ri→∞;
(2)输出电阻Ro=0;
(3)开环电压增益A→∞。理想运放的电路符号及输入输出特性如图1.8-5(a)、(b)所示。图1.8-5理想运放的电路符号及输入输出特性根据理想运放的特征，可得出理想运放的两个重要特性:
(1)虚短(VirtualShortCircuit)。由于A→∞且输出电压|uo|≤|Usat|为有限值，所以由式(1.8-2)可知(1.8-6)此时，两个输入端之间可视为短路(简称为虚短)。
(2)虚断(VirtualOpenCircuit)。由于Ri→∞，所以输入电流
i+=i-=0(1.8-7)
例1.8-2
用理想运放代替图1.8-4(a)所示电路的741运放，重做例1.8-1。
解用理想运放代替741运放之后的反相放大器电路如图1.8-6所示。由“虚短”概念可知ud=0，所以在节点a列KCL，有
i+i1=i2
由“虚断”概念可知i1=0，所以
i=i2=0.2mA
uo=-20×103i-ud=-4V图1.8-6例1.8-2图1.8.3含运放的电阻电路分析运放是一种应用广泛的电路元件，下面举例讨论几种常用的运放电路。
例1.8-3
同相放大器电路如图1.8-7(a)所示，求其闭环电压增益uo/ui。
解应用虚断，i-=0，因此R1与Rf串联，由分压公式，可得若反馈电阻Rf=0(短路)、R1=∞(开路)，则uo=ui。此时，称该电路为电压跟随器(或单位增益放大器)，如图1.8-7(b)所示。电压跟随器的输入电阻为∞，而输出电阻为0,因此，可用作缓冲器，将一个电路与另一个电路隔离开，以避免两个电路之间相互影响。图1.8-7同相放大器与电压跟随器
例1.8-4
反相加法器电路如图1.8-8所示，求其输出电压uo与输入电压之间的关系。图1.8-8反相加法器
解由虚断知，i-=0;根据虚短有ua=0。在运放的反相输入端列KCL，有i=i1+i2+i3
(1.8-8)而将这些关系代入式(1.8-8)并整理，得
例1.8-5
负阻变换器电路如图1.8-9所示，求输入电阻。
解由虚断知，i-=i+=0，则有i=i1，图1.8-9负阻变换器电路得到由虚短有ui=u2，代入上式得(1.8-9)根据KVL，有可解得因此，输入电阻为1.9应用实例1.9.1用电安全与人体电路模型“危险——高压”这种常见的警告容易被误解。在干燥的天气，当摸到一个门把手时就可能遭到静电电击火花，虽然令人不快，但却没
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