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1、第一章 电路模型和基尔霍夫定律 电路模型是电路分析的基础。电流和电压是电路中的基本变量。各电流、电压间的约束关系分为两类:一类是基尔霍夫定律,它给出各支路间电流、电压的约束关系;另一类是各理想元件本身的伏安特性。这些是电路理论的基本概念,是本章阐述的主要内容。 1.1 电路与电路模型 1.2 电路变量 1.3 基尔霍夫定律 1.4 电阻电路元件 1.5 简单电路分析1.1电路与电路模型 电路是由各种电气设备或器件联接而成的电流的通路。在人们的生产和生活实践活动中用到的电路是多种多样的,例如,有远距离输电线路,也有电视机中进行无线电信号接收和处理的电路。电路有时又称为网络,这两个名词没有严格的区
2、分,但网络通常指较复杂的电路。 根据电路的用途大致可将其分为两类:信号处理和能量的传送与转换。例如,电视机中的电路将电视信号进行处理,电网系统完成电能传送与分配,电气传动系统完成能量的转换。 一般而言,电路是由电源或信号源、中间环节以及负载组成的。电源给电路提供电能,信号源给电路提供要处理的电信号,当然,传送信号的同时也伴随着能量的传送。从电路分析的角度,我们将这两类源都称为电源。中间环节进行电能的传送或电信号的处理,负载则将电能转变为其他能量。当闭合电路中有电源时会产生电流和电压,因此电源又称为激励源或激励,而电流和电压则称为响应。 1.1电路与电路模型 对电路进行分析要建立其物理过程的数学
3、描述。发生在电路中的电磁现象和能量转换情况是复杂的。例如,一个用导线绕成的线圈,当电流通过时,线圈周围会产生磁场,磁场中储存着磁场能量。在线圈各匝之间还存在电压,又形成电场,储存着电场能量。电流流过线圈的导体,又会消耗电能。在生产实践中,实际电路的组成结构是复杂、多样的,要对各种电路和种类繁多的电气设备和器件一一建立其电磁性质的数学描述是非常麻烦的,也无法对电路采用系统的分析方法。 理想元件(简称为元件)是人为定义的有精确数学描述的电路元件,每种元件表示单一的一种物理性质。例如,最常用的电阻元件、电感元件及电容元件分别表示着消耗电能、储存磁场能量和储存电场能量这三种物理现象。 根据各种电气设备
4、的物理性质,将其表示为理想元件或理想元件的组合,称为建立其电路模型。电路中所有元件都用电路模型表示,就得到了整个电路的电路模型。电路模型直观地反映出各电气设备和器件的电、磁性质。1.1电路与电路模型 对电路模型进行分析,可采用系统的分析方法,易于求出电路的数学描述和解答。应注意,任何模型都是在一定条件下近似的结果,有一定的适用范围,同一电气设备在不同的应用场合可能有不同的电路模型。例如,工作于低频电路的线圈,其匝间电场效应可忽略,因此可用一个电阻元件和一个电感元件的串联作为其电路模型;而在高频电路中,线圈的电容不可忽略,因此其高频模型中除了电阻元件和电感元件,还会出现电容元件。 这里所讲的理想
5、元件是集总(集中)参数元件,模型是集总参数电路模型。在集总参数电路中,所有的电磁现象及能量转换均集中在元件内部完成,电路性质与器件及电路的尺寸大小无关。在任一时刻,集总参数电路中流过任一点的电流及任两点的电压是与空间位置无关的确定值。 1.1电路与电路模型 采用集总参数电路模型是有条件的。严格来说,实际电路中的能量损耗及电场、磁场储能是连续分布的,因此反映电磁性质的电路参数应是分布参数。但是,当电路的器件及电路各项尺寸远小于电路工作的电磁波的波长时,电路参数的分布性对电路性能的影响很小,因此,可采用集总参数电路模型。若电路尺寸不是远小于其工作时电磁波的波长,例如远距离输电网络、微波电路等,则电
6、路中的电流和电压与器件及电路的尺寸大小以及空间位置有关,对这种电路需用电磁场理论或分布参数电路理论进行分析研究。 本书只介绍分析集总参数电路模型的理论和方法。如无特别说明,书中所指电路均为集总参数电路模型。本书不涉及实际电路设备的模型化方法,它们将在有关专业课中讲述。 1.2电路变量 描述电路工作状态的物理量有电流、电压、电荷、磁通、能量和功率。其中,最基本的是电流和电压,利用电流和电压可计算电路中的能量和功率。电流和电压的参考方向是重要的基本概念。 1.2.1 电 流 带电粒子(电荷)的定向移动形成了电流。电流的大小用电流强度衡量,电流强度简称为电流,用符号 i 表示,定义为单位时间内通过导
7、体横截面的电荷量,即 dq i ( t ) （1-1） dt 大小和方向都不随时间变化的电流称为恒定电流或直流电流,可用符号 I 表示。 在国际单位制中,电流的单位是安培(简称为安,符号为 A);电荷的单位是库仑(简称为库,符号为 C);时间的单位是秒(符号为s)。在信息工程领域,电路中的电流一般较小, 常用毫安(mA)作单位,1mA=10-A。 1.2电路变量 规定正电荷移动的方向为电流的方向。在复杂电路中,电流的方向不易直观确定;在交流电路中,电流的方向随时间而变化,不便在电路图中标出。因此,为求解电路方便,须预先规定电流的参考方向。电流的参考方向是人为假定的电流方向,在图中用箭头表示,
8、如图1-1所示。 图1-1 电流的参考方向1.2电路变量 在规定的电流参考方向下,电流是代数量,求解的结果可能为正也可能为负。若为正,则说明电流实际方向与参考方向相同;若为负,则说明电流实际方向与参考方向相反。图1-1中,若求得 i = -2A,则说明电流的实际方向是由 b 指向 a ;若求得 i ( t ) =2 sint A ,则说明电流值是随时间正负交变的,即电流实际方向随时间交变,在其为正值的时间内,其实际方向由 a 指向 b ,当其值为负时,实际方向由 b 指向 a 。 电流的参考方向和其带有正（或负）号的代数值一起给出了电流的完整解答,既给出了电流的大小,又指明了电流每一时刻的实际
9、方向。只有数值而无参考方向的电流是无意义的,因此求解电路前一定要先假定电流的参考方向。参考方向可以任意假定,一旦假定,求解过程中就不要再改变。1.2电路变量1.2.2 电 压 电荷在电路中的流动伴随着能量的交换。单位正电荷由 a 点移到 b 点所发生的能量变化(获得或失去的能量)称为这两点间的电压,用符号 u 表示,即 dE u ( t ) （1-2） dq 式中, dq 为由 a 到 b 的电荷; dE 是该电荷所发生的能量变化; u 是这两点间的电压。在国际单位制中,电压 u 的单位是伏特(简称为伏,符号为 V ),能量E 的单位是焦耳(简称为焦,符号为 J ),电荷 q 的单位是库仑。
10、若正电荷由 a 到 b 时能量增加,则 b 点电位高于 a 点电位;反之,则 b 点电位低于 a 点电位。习惯上将电位降落的方向规定为电压的方向,即电压的方向由高电位指向低电位。 大小和方向都不随时间变化的电压称为恒定电压或直流电压,可用符号 U 表示。 1.2电路变量 在复杂电路或交流电路中,电压的实际方向不易或不便标出。如同电流参考方向的引入,为求解电路方便,也须在电路中预先设定电压的参考方向。电压的参考方向是人为假定的电压方向,在图中用箭头或“+”、“-”号表示,如图1-2所示,其中 “+”、“-”分别表示假定的高、低电位端,箭头方向由假定的高电位指向低电位。电压参考方向还可用双下标表示
11、,如 uab 表示 a 点与 b 点间的电压,其参考方向由 a 点指向 b 点。 图1-2 电压的参考方向1.2电路变量 在规定的电压参考方向下,电压是代数量,求解的结果若为正值,则电压实际方向与参考方向相同;若为负值,则电压实际方向与参考方向相反。电压的参考方向和其代数值一起给出了电压的完整解答。因此,求解电路前一定要先选定电压的参考方向。 电压和电流的参考方向可独立选择,也可关联考虑。如图1-3所示有两种选法:图1-3( a )中电流和电压参考方向相同,称为关联参考方向;图1-3( b )中电流和电压参考方向相反,称为非关联参考方向。采用关联参考方向时,可只标出电流或电压的参考方向而暗示着
12、另一变量的参考方向。 图1-3关联参考方向和非关联参考方向1.2电路变量1.2.3 功 率 若正电荷通过一段电路后能量有所增加或降低,则说明该段电路的元件提供或吸收了电能。元件吸收或提供电能的速率称为功率,用符号 p 表示。功率可由电流和电压计算。 设一段电路(二端电路)如图1-3( a )所示,其中方框表示某种元件或某些元件的组合。该段电路的电流和电压采用关联参考方向,这意味着我们假定正电荷由高电位流向低电位,即假定该段电路的元件吸收电能。在 t 时刻的微小时间段 dt 时间内,由 a 点移到 b 点的正电荷为 dq = i ( t ) dt ;这些正电荷失去(该段电路元件吸收)的电能为 d
13、E = u ( t ) dq = u ( t ) i ( t ) dt ,则 t 时刻该电路吸收的功率为 dE u ( t ) i ( t ) dt p ( t ) = u ( t ) i ( t ) （1-3） dt dt 1.2电路变量 上式表明,关联参考方向下,一段电路在任一时刻 t 吸收的功率等于该时刻其电流和电压的乘积。若求p( t )为正值,则说明该段电路在这一时刻确实吸收功率;若求得 p( t )为负值,则说明该段电路在这一时刻实际上是供出功率。 若二端电路的电流和电压采用非关联参考方向,如图1-3( b )所示,则意味着我们假定该段电路是供出功率的。可推得其供出的瞬时功率等于其
14、电流和电压的乘积,即(1-3)式为采用非关联参考方向时计算二端电路所提供瞬时功率的计算公式。若求得 p( t )为正值,则该段电路确实是供出功率;否则,是吸收功率。 国际单位制中,功率的单位为瓦特(简称为瓦,符号为 W),1瓦=1焦/秒=1伏 安。 将二端电路的功率在一段时间内积分,便可求得该电路在这段时间内吸收或产生的电能。 1.2电路变量 例1-1 二端电路如图1-4( a )所示。若 u = 2V , I = - 0.5A ,求该二端电路的功率。若电流和电压波形如图1-4( b )所示,求该二端电路在01s时间内吸收的电能。图1-4 例1-1题图1.2电路变量 解 pu i 2（-0.5
15、） -1W由于电路中 u、i 的参考方向为非关联参考方向且其乘积为负值,因此该二端电路实际吸收了1 W 的功率。 解当电路中 u、i 为非关联参考方向时,该电路吸收的功率可表示为 p = -ui ,因此有 p( t ) =-u i =-( t ) ( -1 )= t W该二端电路在01s时间内吸收的电能为 1 1 E0,1=p( t ) dt = t dt =0.5 J 0 01.3基尔霍夫定律 电路中,各元件的电流要受到基尔霍夫电流定律的约束,各元件的电压要受到基尔霍夫电压定律的约束。这两种约束与元件的特性无关,只由元件的互联方式确定,称为拓扑约束。基尔霍夫电压和电流定律统称为基尔霍夫定律,
16、是分析和求解电路的基本依据。 首先介绍几个有关电路的术语。 支路:电路中每个二端元件称为一条支路。有时为简化电路,也将由一些元件组合而成的一段二端电路(如串联的电阻)看做一条支路。例如,图1-5中有6条支路。 节点:电路中支路的连接点称为节点。例如,图1-5中有4个节点()。 回路:电路中由支路构成的闭合路径称为回路。例如,图1-5中有7个回路,支路1、2、3构成一个回路;支路1、2、4、5构成另一个回路等。 图1-5电路的支路、节点、回路示例1.3基尔霍夫定律1.3.1 基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电流定律(KCL,KirchhoffsCurrentLaw):在集总参数电路中,任一时刻,流入任
17、一节点的支路电流之和等于流出该节点的支路电流之和。即任一时刻,与任一节点相连的所有支路电流的代数和为零,用数学式表达为 i ( t )=0 （1-4） 上式称为节点电流方程或 KCL方程。对任一节点均可列出一个KCL方程,它是对连 接到该节点的所有支路电流的一个约束条件。注意求和时不能漏掉与该节点相连的任一支路电流。代数求和是指流入(指向)该节点的支路电流与流出(背离)该节点的支路电流取不同的正负号。例如,对图1-6中的节点 a ,若流出该节点的电流取正号,则该节点的 KCL方程为 -i 1 i 2 + i 3 +i 4 =0 ( 1-5 )1.3基尔霍夫定律 求解电路时,根据电流的参考方向列
18、方程,即上式中各电流前的正负号取决于其参考方向是背离还是指向该节点。由于在参考方向下各电流均是代数量,因此把它们代入方程时,应注意保留其正负号。图1-6中,若已知 i1 =5A , i2=-4A , i4= -7A ,将之代入式(1-5),有 -5- (-4)+ i3 + (-7)= 0 可求得 i3 =8A 图1-6 基尔霍夫电流定律的说明 1.3基尔霍夫定律 基尔霍夫电流定律是电荷守恒规律的体现。电荷既不能创造也不能消灭。在集总参数电路中,节点只是理想导体的连接点,它不会积累电荷。因此,在任一时刻,流入某一节点的电荷必等于流出该节点的电荷,即流入的电流等于流出的电流。 电路中由一封闭的曲线
19、包围的部分称为一个闭合面,或称为广义节点,如图1 7中虚线所示。基尔霍夫电流定律也适用于集总参数电路中的任一闭合面。即任一时刻,流入任一闭合面的支路电流之和等于流出该闭合面的支路电流之和。例如,对图1-7中的闭合面,有 i1+ i2+ i3=0。只需列出闭合面内部所有节点的 KCL方程,再将它们相加,便可证明上述结论。图1-7 基尔霍夫电流定律用于闭合面 1.3基尔霍夫定律1.3.2 基尔霍夫电压定律 基尔霍夫电压定律(KVL,KirchhoffsVoltageLaw):在集总参数电路中,任一时刻,任一回路的所有支路电压代数和为零。用数学式表达为 u ( t )=0 （1-6） 上式称为回路电
20、压方程或 KVL方程。对任一回路均可列出一个 KVL方程,它是对组成该回路所有支路的电压的一个约束条件。注意求和时不能漏掉该回路中的任一支路电压。图1-8 基尔霍夫电压定律的说明1.3基尔霍夫定律 式(1-6)是代数求和式,各项电压前冠有正号或者负号。任意选定回路的绕行方向后,支路电压参考方向与回路绕行方向一致时取正号,相反时取负号。例如,对 图1-8中的回路1,若选定回路绕行方向为顺时针方向,则该回路的 KVL方程为 -u1 + u2u3 -u4 =0 ( 1-7 ) 由于参考方向下各电压均是代数量,因此代入方程时应注意保留其正负号。图1-8中,若已知u1 =6 V, u2=-2 V ,u4
21、= -5 V ,将之代入(1-7)式,有-6+ (-2)-u3 - (-5)=0 可求得 u3 =-3V 基尔霍夫电压定律是集总参数电路中能量守恒规律的体现。单位正电荷从某点出发,沿一回路绕行一周回到原出发点,其能量变化为零。这说明单位正电荷沿途获得的能量总和与失去的能量总和相等。用电压来描述就是回路中的电位升之和等于电位降之和,即回路中所有电压的代数和为零。1.3基尔霍夫定律 基尔霍夫电压定律不仅适用于由支路构成的回路,也适用于不完全由支路构成的假想回路。图1-8中,节点a、c之间并未直接接有支路,但我们可假想a、c间接有一阻值为无穷大的电阻支路,故仍可将节点序列abcd看做一个回路,其 K
22、VL方程为 u2u3 -uac =0 ( 1-8 )也可将adcd看做一个回路,可得 KVL方程为 u1u4 -uac =0 ( 1-9 )利用假想回路的 KVL方程可求出任两节点间的电压。例如,由(1-8)、(1-9)式求得 uac =u2-u3或uac=u1+u4。由(1-7)式知u1+u4=u2-u3。由此例可见,集总参数电路中两点间的电压等于这两点间任一条路径上的支路电压之代数和,它是单值的,与计算路径无关。这正是基尔霍夫电压定律之实质所在。1.3基尔霍夫定律 在电路中指定某一点作为参考电位点(即零电位点),则其余各点相对于该参考点的电压称为各点的电位。如图1-9电路中,若以d点作为参
23、考电位点,则ua、ub、uc、ue 分别表示a、b、c、e各点的电位。电路中某两点的电压等于该两点的电位之差。图1-9中,有uab =ua -ub 事实上,对abda假想回路列出 KVL方程,便可推得上式。 图1-9 电位的概念 将(1-4)式与(1-6)式比较可见,该两式在形式上是相似的,这种一一对应出现的事物称为对偶事物。认识事物的对偶性,可使我们在研究问题时举一反三,由此及彼,提高效率。对偶现象在电路中普遍存在。如前所述,(1-4)式及(1-6)式是对偶方程,式中对应的变量电流和电压是对偶变量。该两个方程所描述的KCL及KVL是对偶定律。在今后的学习中我们还会逐渐认识电路的其他对偶现象。
24、电路中的对偶现象通常可通过其数学描述的相似性表现出来。换言之,数学表达的相似性揭示了事物间的对偶性。1.3基尔霍夫定律 例1-2 电路如图1-10所示,已知 u2=10V, u5=-3V, u6=16V, u8 =9V, i3=-2A, i4=6A, i8=3A,求uab和 i7。 解 从a点出发,依次通过第2、5、8、6号支路,到达b点,这4条支路构成a、b两 点间的一条路径,uab等于这4条支路电压的代数和,即 uab =u2 -u5 -u8 +u6 =10-(-3)-9+16=20V图1-10 例1-2题图在电路中做一封闭的曲线,如图1-10中虚线所示。由该闭合面的 KCL方程得 i7
25、=-i3 +i4 -i8 =-(-2)+6-3=5A 1.4电阻电路的元件 本书所指的电路均为电路模型。电路模型由各种理想元件构成。理想元件简称为元件,它们具有严格的数学定义,每种元件反映着电路中的某种物理现象。电路元件分为无源元件和有源元件两大类。若某一元件接在任意电路中,从最初时刻到任意时刻所吸收的总能量不为负,或者说从最初时刻到任意时刻总的来看,它不对外提供能量,则称为无源元件;反之,则称为有源元件。 电路中若不含储能元件(如电感、电容等),则称为电阻性电路(简称电阻电路)。电阻电路没有记忆功能,电路中的电流、电压关系均为代数方程,每时刻的响应仅与该时刻的激励有关。构成电阻电路的元件主要
26、有电阻元件、独立源、受控源及理想运算放大器。1.4电阻电路的元件1.4.1 电阻元件 一个二端元件,若其端电流i 和端电压 u 的关系为一代数方程,则称之为电阻元件。 根据其 u、i 关系方程是否是线性方程及是否与时间 t 有关,电阻元件可分为线性电阻与非线性电阻,时变电阻与非时变电阻。本书内容仅涉及非时变电阻,这里先介绍非时变线性电阻,非线性电阻将在第13章介绍。 非时变线性电阻应用广泛,简称为电阻元件,它是满足欧姆定律的二端元件。电阻元件的电路符号如图1-11(a)所示。在关联参考方向下,其端电压 u( t )和端电流 i ( t )的关系(称为伏安特性或 u i 特性)为 u ( t )
27、 =Ri ( t ) ( 1-10) 式中,R 为正的常数,称为电阻元件的电阻。u i 特性可用图1-11(b)表示,它是过原点且斜率为R 的直线。 (1-10)式可改写为i ( t ) =Gu ( t ) ( 1-11)其中,G=1/R,称为电导。(1-10)式和(1-11)式是欧姆定律的两种数学表达式。1.4电阻电路的元件 国际单位制中,电阻的单位是欧姆(简称欧,符号为 ),1欧姆=1伏特/1安培。电导的单位为西门子(简称西,符号为S)。电导反映了电阻元件导电能力的大小。 (1-10)式和(1-11)式是关联参考方向下电阻元件u i 特性的数学表达式。若采用图 1 12所示的非关联参考方向
28、,则其u i 特性应改写为 u ( t ) = -Ri ( t ) ( 1-12)i ( t ) = -Gu ( t ) ( 1-13) 图1-11 线性电阻元件及其u i特性 图1-12 u、i为非关联参考方向 1.4电阻电路的元件 关联参考方向下,电阻元件吸收的瞬时功率为 p(t) = u(t)i(t) ,将(1-10)式或 (1-11)式代入,电阻元件吸收的瞬时功率又可由下式计算:可见,任一时刻电阻吸收的功率非负,即电阻是无源元件而且是耗能元件。工程上选用电阻器件时,除要选择合适的电阻值外,还要考虑其额定功率,若电阻器件工作时所消耗的功率大于其额定功率,就有可能因过热而损坏。 若电阻元件
29、的R (G=0),则其电流恒为零,其伏安特性曲线与u 轴重合,此时电阻元件相当于断开的导线,称为“开路”;若电阻元件的 R=0(G ),则其端电压恒为零,其伏安特性曲线与i轴重合,此时电阻元件相当于一段理想导线,称为“短路”。 电阻元件伏安特性的两种数学表达式(1-10)、(1-11)是对偶的,R 与G 是对偶参数。 1.4电阻电路的元件1.4.2 独立电源 独立电源又称为激励源,分为电压源和电流源。独立电源是有源元件。 1.电压源 电压源是理想的二端元件,其端电压与其端电流无关,为一给定的恒定值(直流电压源),或者为某一给定的时间函数(时变电压源)。电压源的符号如图1-13(a)所示,其中虚
30、线部分是电压源连接的任意外电路。电压源符号中,us(t)为电压源的给定电压函数,u(t)为它的端电压。若u(t)与us(t)的参考方向相同,则对于任意端电流i(t),电压源的特性方程为 u ( t ) =us ( t ) ( 1-15) 在任一时刻t,电压源的u i特性如图1-13(b)所示,它是一条平行于i轴的直线,即任一时刻电压源的端电压均与其端电流无关。 直流电压源也可用图1-14所示符号表示,其中长横线表示电压参考方向的高电位端,短横线表示参考方向的低电位端。1.4电阻电路的元件 图1-13 电压源及其u i特性 图1-14 直流电压源 电压源有两个特征:一是其端电压为给定函数或常数,
31、与其端电流的大小无关;二是电压源自身对其端电流没有任何约束。 若电压源的端电压和端电流取为非关联参考方向,如图1-13(a)所示,则其提供的瞬 时功率为 p ( t ) = u ( t ) i ( t ) ( 1-16)1.4电阻电路的元件 由于电压源允许i(t)为任意值,因此若i(t)为无穷大,则电压源可供出无穷大的功 率,即电压源是无穷大的功率源。当然这种电源实际上是不存在的,在一定的条件下,电压源可作为实际电源的近似模型;而在某些场合,实际电源则需采用理想电源及电阻等元件的组合作为其模型。 由于电压源的电流大小和方向都不受电压源本身限制(在实际电路中,电压源的电流可能与电压反方向或者同方
32、向),因此,由(1-16)式计算出来的p(t)可能为正也可能为负。换言之,电路中的电压源有可能提供电能,也有可能消耗电能,这要视具体电路而定。在后一种情况下(如蓄电池充电),电压源相当于负载。 一个零值的电压源其端电压恒为零,相当于一条短路的支路。1.4电阻电路的元件2.电流源 电流源是理想的二端元件,其端电流与端电压无关,为一恒定值(直流电流源)或者为某一给定的时间函数(时变电流源)。电流源的符号如图1-15(a)所示。其中,虚线部分是 电流源连接的任意外电路。电流源符号中is(t)为电流源的给定电流函数(直流电流源也可 表示为Is),i(t)为电流源的端电流。若i(t)与is(t)的参考方
33、向相同,则对于任意端电压 u,电流源的特性方程为 i ( t ) = is ( t ) ( 1-17) 在任一时刻t,电流源的u i特性如图1-15(b)所示,它是一条平行于u 轴的直线, 即任一时刻电流源的端电流与其端电压无关。 电流源有两个特征:一是其端电流为给定函数或常数,与其端电压无关;二是电流源 自身对其端电压没有任何约束。 1.4电阻电路的元件 若电流源的端电压和端电流取为非关联参考方向,如图1-15(a)所示,则其提供的瞬时功率也是由(1-16)式确定的。由于p(t)可为正也可为负,因此电流源在电路中也有供能和耗能两种可能的工作状态。理想电流源也是无穷大的功率源,在一定的条件下可
34、作为实际电源的近似模型。 一个零值的电流源其端电流恒为零,相当于一条开路的支路。图1-15 电流源及其u i特性 电压源和电流源是对偶元件,它们的对偶变量具有相同特点,其中一个对偶变量(电压源的电压和电流源的电流)为给定函数,而另一个对偶变量(电压源的电流和电流源的电压)则不受元件本身约束。1.4电阻电路的元件 例1-3 电路如图1-16所示,已知is(t)=3A,us(t)=5V,R=5,求电压源、电流源及电阻的功率pus、pis和pR 。 图1-16 例1-3题图 解 这是一个单回路电路,且回路中串有一个电流源,因此该回路各元件电流已知。设电流源及电阻的电压分别为u1 和u2,根据 KVL
35、可列出回路电压方程: u1 +us +u2 =0 解得u1 =-us -u2 =-us -isR =-5-35=-20V pus =isus =35=15 W (关联参考方向,吸收15 W) pis =isu1 =3 (-20)=-60 W (关联参考方向,实际提供60W) pR =i2sR =32 5=45 W (吸收45 W) 由该例结果可知,电路中各元件吸收的功率之和与供出的功率之和相等,即任一时 刻,电路中的功率是平衡的。1.4电阻电路的元件 例1-4 电路如图1-17所示,已知is(t)=2A,us(t)=5V,R=10,求电压源、电流源及电阻的功率pus、pis和pR 。 图1-1
36、7 例1-4题图 解 电路中三个元件是并联的,其中有一个电压源,因此各元件电压已知。设电压源及电阻的电流分别为i1 和i2,根据 KCL可列出节点电流方程: i1+ i2= is 1.4电阻电路的元件 解得 us 5 i1is-i2 is- = 2 - 1.5A R 10 pus =i1us =1.55=7.5 W (关联参考方向,吸收7.5 W) pis =isus =25=10 W (非关联参考方向,提供10 W) us 5 pR 2.5W （吸收2.5W） R 10 可验证电路中各元件的功率平衡。1.4电阻电路的元件1.4.3 受控源 实际电路中存在着一条支路电流或电压受另一条支路电流或
37、电压控制的现象。例如, 图1-18(a)所示是一个三极管,其集电极电流ic 受基极电流ib 的控制,有ic=ib,其中 为电流放大系数;图1 18(b)所示是它励直流发电机示意图,发电机的输出电压U 与励磁 电流If 成正比,有U=kIf,k 为比例系数;图1 18(c)是一个场效应管,漏极电流id 受栅 源极电压ugs的控制,有id=gmugs,其中gm 为控制系数。受控源是人为定义的理想的控制 元件,是构成实际电路中诸如三极管、场效应管等控制器件的电路模型的基本元件。图1-18 三极管、它励发电机及场效应管示意图 1.4电阻电路的元件 受控源由控制支路和被控支路构成,是二端口元件。控制支路
38、所在端口称为输入端口,被控支路所在端口为输出端口。当控制变量为电路中某两点间的电压时 (如图1-18(c)中的ugs),不妨认为该两点间接有一条阻值为无穷大的电阻支路,控制电压是这 条开路支路的电压;当控制变量是电路中某条支路的电流时(如图1-18(a)中的ib 和图1-18(b)中的If),不妨认为该支路中串联有一条阻值为零的电阻支路,控制电流是这条 短路支路的电流。在受控源的定义中,将控制支路规定为开路支路(当控制变量为电压时) 和短路支路(当控制变量为电流时)。 当被控变量是控制变量的线性函数时,该受控源称为线性受控源;否则称为非线性受控源。本书只讨论线性受控源(简称受控源)。根据控制量
39、及被控量是电压还是电流,有四 种不同类型的受控源:电压控制电压源、电流控制电压源、电压控制电流源和电流控制电 流源。1.4电阻电路的元件1.受控电压源 若受控变量是电压,则称为受控电压源。根据控制量是电压或电流,分为电压控制电 压源(VCVS,Voltage-Controlled VoltageSource)及 电 流 控 制 电 压 源 (CCVS,Current- ControlledVoltageSource),它们的符号分别如图1-19(a)、(b)所示。受控源均采用菱形符号,以便与独立源相区别。电压控制电压源输出端口的特性方程为 u2u1 式中, 称为转移电压比,是一个无量纲的常数。
40、 电流控制电压源输出端口的特性方程为u2 =ri1 式中,r 是一个常量,与电阻的量纲相同,称为转移电阻。 由受控电压源输出端的特性方程看,受控电压源也具有与独立电压源相同的两个特征:一是输出支路的电压与该支路电流无关;二是输出支路的电流不受元件本身的约束。 受控电压源与独立电压源本质的不同在于独立电压源的电压是一给定的常数或独立的 时间函数,它不受任何其他支路电流或电压的影响;而受控电压源的输出电压则受另一支 路电压或电流的控制,它是该支路电压或电流的函数,当控制变量为零时,它也将为零。1.4电阻电路的元件2.受控电流源 若受控变量是电流,则称为受控电流源。根据控制量是电压或电流,分为电压控
41、制电流源 (VCCS,Voltage-ControlledCurrentSource)及电流控制电流源 (CCCS,Current- ControlledCurrentSource),它们的符号分别如图1-19(c)、(d)所示。 图1-19 四种受控源 (a)VCVS;(b)CCVS;(c)VCCS;(d)CCCS 1.4电阻电路的元件 电压控制电流源输出端口的伏安特性方程为 i2 =gu1 式中,g 是一个常量,与电导的量纲相同,称为转移电导。 电流控制电流源输出端口的伏安特性方程为 i2 =i1 式中, 称为转移电流比,是无量纲的常数。 受控电流源与独立电流源一样,也有两个特征:一是输出
42、支路的电流与该支路电压无关,二是输出支路的电压不受元件本身的约束。但受控电流源与独立电流源有本质的区别,前者的输出电流受另一支路变量的控制,后者的电流则是给定的常数或时间函数。1.4电阻电路的元件 由于受控源输入支路的电流、电压变量总有一个为零,因此输出支路的功率就是受控源的功率。设输出支路的电流和电压取为关联参考方向,则受控源吸收的瞬时功率为 p(t)=u2(t)i2(t) p(t)可能为正,也可能为负,因此受控源在电路中可能是吸收功率也可能是提供功率。可以证明,受控源是有源元件。事实上,作为构成实际放大器件电路模型的核心元件,实际放大器件的有源性正是由受控源所体现的。 虽然受控源与独立源同
43、是有源元件,但受控源不是激励源,若一个电阻电路中没有独立源,只有受控源,则电路中的电流和电压都将为零。四种受控源的特性方程都是线性代数方程,故可称之为线性二端口电阻性元件。 1.4电阻电路的元件 例1-5 电路如图1-20所示,已知us=10mV,R1=1k,R2=2k。求电压 uo 和受控源的功率;若电路中独立电压源的电压为零,求受控源的功率。 图1-20 例1-5题图 解由电路可得 us 1010 i1 = 10 A R1 10 uo =-20i1R2 =-2010 210 =-0.4V 受控源吸收的功率为 p=20i1 uo =2010 (-0.4)=-810W 即受控源实际供出80微瓦
44、的功率。 若电路中us 为零,则受控源的控制电流i1 等于零,分析可知,电路中各元件的电 流和电压都为零,受控源的功率也为零。 1.4电阻电路的元件1.4.4 运算放大器 运算放大器简称运放,它是一种多端电子器件。运算放大器最初主要用于加减法、比例、微分、积分等运算电路中,其名称由此而来。由于其优良的特性,现已被广泛应用于各 种电子线路及控制系统中。运放的内部构成及主要用途在电子线路课程中介绍,本课程主 要介绍其电路模型。 运放的电路符号如图1-21(a)所示,它有“+”、“-”两个输入端、一个输出端和一个接地端。运放工作时要接直流电压源,因此运放还有两个电源端。假设运放已接有适当的电源,则在
45、分析中不必再考虑电源问题,因此这两个电源端未在图中画出。 图中,u+ 、u- 分别为“+”、“-”输入端对地电压,称为同相输入和反相输入电压;uo 为输出端对地电压,称为输出电压;ud 称为差动输入电压,ud=u+ -u- 。 1.4电阻电路的元件 运放的电压转移特性即uo ud 特性如图1-21(b)所示。其中,Usat、-Usat分别为正、负饱和电压,它们与运放所接的直流电源值有关。根据转移特性可将运放的工作区分为线性区和饱和区。运放工作在线性区时具有放大作用,其开环放大倍数(开环增益)为 uo A ( 1-18)ud 实际运放的开环增益A可高达10 10 。 图1-21运算放大器及其转移
46、特性 1.4电阻电路的元件 本书仅介绍运放工作在线性区时的电路模型。运放工作于线性区时,由于uo 与ud 成比例,因此从输出端看,运放相当于一个电压控制电压源,再考虑到实际运放的输出电阻不为零及输入电阻不为无穷大,实际运放的电路模型可用图1 22(a)表示。其中,Ri和Ro 分别为运放的输入和输出电阻。通常实际运放的输入电阻很大(为数兆欧到数百兆欧),输出电阻很小(为数十欧到数百欧)。若近似认为Ri=,Ro=0,则运放的电路模型可简化为如图1-22(b)所示。图1-22 运算放大器的电路模型 1.4电阻电路的元件 由于实际运放的开环增益A很大,因此在工程计算时常常把实际运放近似看做理想运放。理
47、想运放定义为Ri=,Ro=0,A=的运放,它是实际运放在一定条件下的近似。理想运放有两个特点:一是由于输入电阻无穷大,因此输入电流为零,称为输入端虚断路;二是由于开环增益A 无穷大,而输出电压uo 为有限值,因此由(1-18)式可知,输入电压ud 为零,即两个输入端电位相等,称为输入端虚短路。由于理想运放的这两个特点同时存在,无法用常规理想元件构成其电路模型,因此在电路分析时,将理想运放作为一个基本元件。理想运放的符号如图1-23所示,它与实际运放的符号基本相似,只是在三角形内加了一个“”符号以示区 别。图1-23 理想运算放大器 图1-22 运算放大器的电路模型 1.4电阻电路的元件 分析含
48、理想运放的电路时要充分利用虚断路和虚短路这两个特点。图1-24所示是一个反相比例器电路。根据虚断路特性,有i1 =if 根据虚短路特性,有uab =0 于是可得 ui=i1R1 uo =-ifRf=-i1Rf 可求得该电路输出电压与输入电压之比(称为闭环 放大倍数)为 uo -i1R1 Rf Au ui i1R1 R1图1-24 反相比例器电路图1-22 运算放大器的电路模型 1.5简单的电路分析1.5.1 电阻串、并联电路 图1-25所示为n个电阻的串联,串联电路中各元件电流相等。根据 KVL,有 u=i(R1 +R2 +R3 + +Rn)=iR 则有 R =R1 +R2 + +Rn （1-
49、19） R 为 n 个串联电阻的等效电阻。若第k个电阻的电压uk与总电压u的参考方向相同,则 有分压公式： Rk uk iRk u （1-20） R 图1-25 电阻的串联1.5简单的电路分析 可见,在电阻串联电路中,当总电压一定时,某个串联电阻越大,分到的电压越大。将 (1-19)式两边同乘电流平方,得 iR =iR1 +iR2 + +iRn (1-21) 即串联电阻吸收的总功率等于各串联电阻吸收的功率之和,且电阻值越大,吸收的功率也就越大。图1-26所示为n个电阻的并联,并联电阻的电压相等。根据 KCL,有 则有 (1-22)1.5简单的电路分析 其中,G为n 个并联电阻的等效电导;R为n
50、 个并联电阻的等效电阻。若第k 个电阻的电流ik 及总电流i的参考方向如图1-26所示,则有分流公式: Gk ik i （1-23） G 可见,在电阻并联电路中,当总电流一定时,某个并联电阻越小(电导越大),分到的电流就越大。将(1-22)式两边同乘电压平方, 得 （1-24） 即并联电阻吸收的总功率等于各并联电阻吸收的功率之和,且电阻值越小,吸收的功率越大。若只有两个电阻并联,即图1-26中n为2,可推得等效电阻及分流公式为图1-26 电阻的并联1.5简单的电路分析 例1-6 电路如图1-27所示,求等效电阻Rab及Rcd。 解 该电路无论从 a、b端还是从c、d端 看,都是电阻的串并联结构
51、,可求得 Rab =R1 +R3 (R2 +R4)=12 Rcd =R2 (R3 +R4)=4 若电路中只有一个独立源及若干电阻,且从电源端看进去电阻是串并联连接，则可采用串、并联等效变换及分流和分压公式求解电路。一般的做法是先求出电源端的等效电阻,再求电源端的电流或电压,然后用分流或分压公式求各支路的电流或电压。图1-27 例1-6题图1.5简单的电路分析 例1-7 电路如图1-28所示,已知Us=30V,R1=R2=R6=3,R3=2,R4=8,R5=5,求I、I1 和U2。 解 图1-28 例1-7题图 电阻的串联与电导的并联是对偶结构,前者的等效电阻与后者的等效电导计算公式对偶,前者的
52、分压公式与后者的分流公式对偶,它们的功率计算式也对偶。1.5简单的电路分析1.5.2 单回路及单节偶电路分分析 单回路电路中各元件是串联的,若回路中有电流源,则电路中各元件的电流已知。现在考虑回路中只含电阻和电压源的情况,回路电流是未知量。列出该回路的 KVL方程便可求解。 例1-8 单回电路如图1-29所示,已知Us1=30V,Us2 =50V,R1 =R2 =5,R3 =2, R4=8,求I 及Us1的功率。 解 设回路绕行方向与电流I 的参考方向一致, 将各电阻的电压用电流乘电阻表示,回路 KVL方程为 IR1 +IR2 +IR3 +IR4 =Us1 -Us2 列 KVL方程时,习惯将电
53、阻的电压写在等号左边,将电压源的已知电压写在等号右边。上式表明,该回路中各电阻的电压降的代数和等于各电压源的电位升的代数和。由上式解得 图1-29 例1-8题图 Us1的功率为P =Us1I=30 (-1)=-30 W (非关联参考方向,实际吸收30 W) 有两个节点的电路为单节偶电路。单节偶电路中各元件是并联的,若并联有电压源, 则各元件的电压已知。现在考虑电路中只含电阻和电流源的情况,列出节点的 KCL 方程 可求得元件电压。 1.5简单的电路分析 例1-9 电路如图1-30所示,求电压U。 图1-30 例1-9题图 解 将各电阻的电流用电压除以电阻来表示,节点1的 KCL方程为 列KCL
54、方程时,习惯将电阻的电流写在等号左边,将电流源的已知电流写在等号右边。 由上式解得 1.5简单的电路分析1.5简单的电路分析1.5.3 电路中两点间电压的计算 在分析电路时,常遇到要计算两点之间电压的问题。计算两点间电压常用的方法有两 种:一种方法是在两点间选择一条路径,计算路径上元件电压之代数和;另一种方法是选 定电路中某点作为参考电位点,计算两点的电位差。 电路中a、b两点间的电压uab等于a、b间任一路径上所有元件电压的代数和。若元件 电压的参考方向与路径方向(从a至b的方向为路径方向)一致,则取正号,反之取负号。 例1-10 电路如图1-31所示,求电压Uab。图1-31 例1-10题
55、图 解 对节点b列 KCL方程,可求得I=2+1=3A 选择a、b间由电压源、受控电压源及两个电阻构成的路径计算Uab,有 Uab =-5+2U1 +2I+3I 将U1=3I 代入上式,得 Uab =-5+2 (3I)+2I+3I=-5+11I=-5+113=28V 1.5简单的电路分析 例1-11 电路如图1-32所示,求电压Uab。图1-32 例1-11题图 解 以节点c作为参考电位点,根据分压公式得 因此 Uab =Ua -Ub =4-2=2V 以不同的点作为参考电位点,电路中各点的电位值将不 一样,但两点的电位差,即两点间的电压却是唯一的,与参考 电位点的选择无关。如上例中,若以d点为
56、参考点,仍可求得Uab为2V,读者可验证之。 1.5简单的电路分析第二章 电阻电路的等效变换 在电路分析中常采用一些等效变换,以达到简化电路的目的。例如,将多个电阻的串联或并联等效成一个电阻就是一种常用的简化手段。本章将先阐明等效变换的理论依据,然后介绍电路分析中其他一些常用的等效变换方法。 2.1 等效二端网络 2.2 电压源、电流源串并联电路的等效变换 2.3 实际电源的两种模型及其等效变换 2.4 电阻星形连接与三角形连接的等效变换2.1等效二端网络 电路中的二端网络又称为单端口网络或单口网络,它有两个端与电路其他部(称为外电路)相联,它与外电路相关联的变量只有端口电流和端口电压。在图2
57、-1中,N1就是一个二端网络。注意,N1内部与外电路内部之间不能有控制和受控的关系,否则N1与外电路之间除了端口变量之外,还会有其他的关联,它就不是一个真正的二端网络。因此,若N1中有受控源,则其控制量只能是N1内部某支路的或端口的电流、电压;而且,外电路中受控源的控制量也不能在N1内部。图211二端网络2.1等效二端网络 若二端网络由电阻、独立源、受控源等元件构成,不包含储能元件,则称为二端电阻网络(本章简称二端网络)。从端口上看,可将二端网络视为一条广义支路,其特性由端口伏安关系所描述。二端网络对外电路的影响取决于它的端口伏安特性。如果有两个二端网络的内部结构不同,但其端口伏安特性却完全一
58、样,则从外电路的角度来看,这两个二端网络的作用相同,它们是可以相互替代的。这就是等效变换的理论依据。 端口伏安特性相同的二端网络称为等效二端网络。电路中一个二端网络被其等效网络替换,称为电路的一次等效变换。等效变换后电路其他部分的工作状态不变。必须强调,等效仅是对外电路(未变部分)和端口而言的,而被变换的二端网络的内部电流、电压变量在变换前后已没有对应关系。在用等效变换法分析电路时,要充分注意这一点。2.1等效二端网络 要证明两个二端网络是等效的,只需证明它们的端口伏安特性相等即可。值得注意的是,由于端口伏安特性方程与所选电流和电压的参考方向有关,因此只有当两个二端网络的端口电流、电压的参考方
59、向对应相同且方程相等时,它们才是等效的。 列写某二端网络的端口伏安特性时,首先应将其从整个电路中分离出来,标出端电流和端口电压的参考方向,然后再求解。求解时,在端电流和端口电压这两个变量中,假设一个变量已知,从而求出另一个变量的表达式。至于是选择端口电流还是端口电压作为已知量,可针对具体的电路,从方便求解的角度选定。2.1等效二端网络 例2-1 求图2-2所示二端电路的端口伏安特性。 图2-2 例2-1题图 解 标出端电流和端口电压参考方向如图 2-2所示。分析可知,若该电路端口电压已知, 则两个电阻的电流容易求得,进而可得端电流表达式。因此,这里设端口电压u已知,相当于端口接一电压源,如图中
60、虚线所连。可求得该二端电路的端口伏安特性为 或 u=8+4i 由上两式可分别构造出原网络的两个等效二端网络,如图2-3(a)、(b)所示。 图2 -3 图2-2的等效电路2.1等效二端网络 例2-2 求图2-4(a)所示二端电路的端口伏安特性。 解 标出端电流和端口电压参考方向如图2-4(a)所示。分析可知,若该电路端口电流已知,则用并联电阻的分流公式,容易求得电流i1,进而容易写出端口电压表达式。因此,这里设端口电流i已知,相当于端口接一电流源,如图中虚线所连。由分流公式得 而 求得端口电压为 u=5u1 + (3+3)i1 =5i+2i=7i 由上式可得原二端电路的等效电路如图2-4(b)
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